LABORATORIO DE MECÁNICA Y ONDAS-primera parte

Análisis estático y dinámico de un sistema lineal con distribución de masa no uniforme

Tut: Ana Cros Stötter

Carlos Badía Agustí

Diego M. Rodríguez Sánchez

Índice:

Guión de la práctica

1. Procedimiento Experimental

      1.1. Primera parte. Densidad lineal………………………...p.3

      1.2. Segunda parte. Centro de masa………………………p.4

      1.3. Tercera parte. Variación de la longitud de

onda con la distancia………………………………………...p.4

 2. Análisis de datos

      2.1. Primera parte. Densidad lineal. Desarrollo del modelo

teórico………………………...............................................p.5

      2.2. Segunda parte. Centro de masa………………………p.7

      2.3. Tercera parte. Variación de la longitud de

onda con la distancia………………………………………...p.7

3. Curiosidades y aplicaciones………………………………p.9

Resolución de la práctica

1. Preguntas y observaciones……………………………….p.10

2. Procedimiento Experimental

      2.1. Primera parte. Densidad lineal………………………...p.11

      2.2. Segunda parte. Centro de masa………………………p.14

      2.3. Tercera parte. Variación de la longitud de

onda con la distancia………………………………………...p.16

3. Análisis de datos

      3.1. Primera parte. Densidad lineal. Desarrollo del modelo

teórico………………………................................................p.18

                  -Cálculo de la densidad lineal de masa…………….p.24

3.2. Segunda parte. Centro de masa……………………….p.26

      3.3. Tercera parte. Variación de la longitud de

onda con el número de vuelta……………………………….p.28

4. Comentarios y conclusiones

      4.1. Primera parte. Densidad lineal. Desarrollo del modelo

teórico……………………….................................................p.28

      4.2. Segunda parte. Centro de masa………………………..p.28

      4.3. Tercera parte. Variación de la longitud de

onda con el número de vuelta……………………………......p.28

5. Bibliografía……………………………………………………..p.29


AVENTURA EN EL EVEREST




Análisis estático y dinámico de un sistema lineal con distribución de masa no uniforme

Guión de la práctica:

En esta práctica iniciamos una aventura de altura: un viaje de exploración a la cumbre más alta de la cordillera del Himalaya. Como alpinistas experimentados, hemos determinado con antelación la ubicación de los campamentos base y hemos preparado concienzudamente las bombonas que nos aportarán el oxígeno necesario a medida que ganemos altura. Todo alpinista con experiencia sabe que, conforme subimos, la presión atmosférica es menor y el aire se enrarece, disminuyendo su densi-dad. Ascender a cumbres muy elevadas conlleva por tanto la dificultad añadida de realizar un esfuerzo físico grande con un aporte de oxígeno cada vez más pequeño. Para evitar el “mal de altura”, locura inducida por un aporte de oxígeno al cerebro insuficiente, es necesario contar con una fuente de oxígeno suplementaria. La disminución de la densidad de la atmósfera con la altura es también importante para determinar la altitud a la que un avión debe volar, puesto que su sustentación depende de la densidad del aire.

Pero ¿a qué se debe la variación de la densidad del aire con la altura? ¿qué fenómenos físicos dependerán de este cambio de densidad? Como buenos físicos, nuestra misión en esta práctica consiste en idear un sistema experimental que nos permita responder a algunas de estas preguntas en el espacio reducido de nuestro laboratorio y sin necesidad de escalar el Everest.

Objetivos: Determinar la distribución lineal de masa en un muelle suspendido verticalmente. Establecer su centro de gravedad. Estudiar las ondas estacionarias en un sistema de masa variable.

Material a utilizar: Muelle metálico y muelle de plástico. Soporte para los muelles. Soporte vertical. Llave Allen. Regla graduada con indicador de altura. Balanza. Listón de madera. Cinta adhesiva de doble cara. Adaptador con pivote para el soporte vertical. Vibrador mecánico. Generador de ondas sinusoidales.

La atmósfera está compuesta por aire (es decir, átomos con masa) y el aire se ve atraído por la gravedad terrestre. Es lógico concluir por tanto que el aire al nivel del mar sea más denso que el de la estratosfera, a 52 Km sobre el nivel del mar, puesto que el primero debe soportar el peso de todo el aire que hay por encima. Podemos imaginarnos la atmósfera como trocitos diferenciales de masa unidos por un muelle que los separa ¿Qué muelle crees que estará más comprimido, uno que se encuentre en la parte superior o el de la parte inferior? Justifica la respuesta.

En nuestro afán de encontrar un sistema que represente en cierta medida la distribución de la densidad del aire en la atmósfera, hemos pensado en un muelle muy largo. Si lo suspendemos verticalmente, la parte superior estará sometida a la tensión originada por toda la masa de muelle que queda por debajo, con lo que sus vueltas estarán muy separadas. En cambio, en la parte inferior, donde la tensión es mucho menor, las vueltas estarán muy juntas. El muelle que hemos elegido es del tipo Slinky, de constante elástica pequeña y masa grande.

El Slinky no se comporta igual que la atmósfera. En la atmósfera, la densidad cambia debido al peso del aire que hay por encima de una determinada capa, mientras que en el Slinky la separación de sus vueltas cambia debido al peso de las que hay por debajo de una capa dada. A lo largo de esta práctica veremos que ambos sistemas son sin embargo esencialmente equivalentes.

Observaciones preliminares:

Para familiarizarnos con nuestro sistema experimental, realizaremos una serie de observaciones preliminares:

La longitud del muelle suspendido, ¿varía linealmente con la longitud del muelle que se deja caer?

Esta práctica es diferente las demás del laboratorio, puesto que la introducción teórica que corresponde a la primera parte la tienes que deducir tú mismo. Un físico debe ser capaz de observar la naturaleza e interpretar sus observaciones desarrollando un modelo que expresa las características de su sistema físico en lenguaje matemático. En esta práctica ejercitarás tu capacidad de desarrollar un modelo que permita explicar tus observaciones experimentales. Comenzaremos por tanto realizando el experimento, identificaremos las variables físicas importantes para nuestro modelo y analizaremos posteriormente los resultados obtenidos.

1. Procedimiento experimental

1.1             Primera parte. Densidad lineal

El sistema experimental que vamos a utilizar consta de un soporte regulable en altura adaptado a los muelles. Para realizar el experimento, procederemos de la siguiente forma:

Precaución: Al manipular el muelle, extremar el cuidado para que no se enrede ni se deforme.

1.2             Segunda parte. Centro de masa

Si el muelle tuviera su masa uniformemente distribuida a lo largo de su longitud, su centro de masa coincidiría con su centro geométrico. Sin embargo, en el apartado anterior hemos determinado experimentalmente que esto no es así. Por tanto, su centro de gravedad estará desplazado del punto medio. En este apartado determinaremos la posición del centro de masa del muelle mediante el método del pivote.

Si sujetamos el muelle horizontalmente, suspendiéndolo desde su centro de masa, éste permanecerá en equilibrio en posición horizontal. Necesitamos por tanto un método que nos permita sujetar el muelle horizontalmente sin que se deforme. Por supuesto, el método de sujeción no debe alterar la distribución de masa que el muelle tenía en posición vertical. El método que hemos elegido para conseguir esto consiste en utilizar un listón de madera con distribución de masa homogénea y de la misma longitud que el Slinky extendido. El procedimiento experimental es el siguiente:

·         Sobre el listón de madera pegaremos una tira de cinta adhesiva de doble cara.

·         Colgaremos de nuevo el muelle metálico en posición vertical, siguiendo el procedimiento descrito en la primera parte de la práctica.

·         Introduciremos el listón de madera en el interior del muelle y presionaremos para que éste se pegue en la cinta adhesiva.

·         Con mucho cuidado, retiraremos el muelle de su soporte y situaremos el listón en posición horizontal.

·         Apoyamos el listón con el muelle en el pivote y lo vamos desplazando hasta la posición en que se encuentra en equilibrio y no se decanta hacia ningún lado. En este procedimiento hay que tener mucho cuidado para no cambiar la distribución de masa del muelle pegado al listón.

·         Determinar la posición del centro de masa del sistema midiendo la distancia desde el extremo inferior del muelle hasta la posición de equilibrio.

1.3             Tercera parte. Ondas longitudinales estacionarias en el muelle. Variación de la longitud de onda con la distancia.

En los dos apartados precedentes hemos analizado las propiedades del muelle desde el punto de vista estático, realizando un paralelismo entre la distribución de masa en el muelle y la distribución de aire en la atmósfera. Nuestra atmósfera, sin embargo, sirve de medio material para la transmisión de sonidos en forma de onda longitudinal. En esta tercera parte vamos a llevar la similitud del muelle y la atmósfera aún más lejos, con el fin de analizar algunas de las particularidades de la propagación del sonido en una atmósfera cuya densidad varía con la altura.

Para ello someteremos el Slinky suspendido verticalmente a vibraciones longitudinales de distinta frecuencia. Estudiaremos el patrón de ondas estacionarias que se genera, de forma similar a como lo haces en la práctica del “Tubo de Kundt”. La diferencia con esta práctica es que ahora el aire está representado por un medio material diferente, el muelle, y que su densidad cambia con la altura.

Antes de abordar la ejecución experimental de esta parte de la práctica, debes revisar la práctica del “Tubo de Kundt” y responder a las siguientes preguntas:

·         ¿Cómo depende la velocidad de propagación del sonido en el aire de su densidad?

·         Teniendo en cuenta la relación entre frecuencia (f), longitud de onda (l) y velocidad (v), (), si la frecuencia de una onda se mantiene constante a medida que atraviesa la atmósfera, ¿cómo cambiará su longitud de onda?

·         En una onda estacionaria, ¿Qué relación tiene la longitud de la onda con la distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos?

En esta parte de la práctica determinaremos experimentalmente cómo varía la longitud de onda con la posición a lo largo del muelle. Para ello haremos oscilar el muelle longitudinalmente hasta encontrar una onda estacionaria y determinaremos la posición de sus nodos. El procedimiento experimental es el siguiente:

2. Análisis de datos

2.1             Primera parte. Densidad lineal. Desarrollo del modelo teórico

En este apartado desarrollaremos un modelo que nos permita determinar mediante variables físicas la posición de cada una de las vueltas del Slinky.

NO SIGAS LEYENDO. Antes de continuar, conviene que te pares a pensar en tu sistema y que intentes desarrollar por ti mismo el modelo. A continuación te daremos algunas pistas para guiarte en cómo hemos llevado a cabo nosotros este proceso. Pero debes saber que puede haber otros caminos para llegar a un resultado correcto, y tú debes buscar el tuyo propio.

Nosotros hemos desarrollado nuestro modelo de la siguiente forma: Imaginemos un muelle de constante recuperadora k del que suspendemos una masa m. Habrás analizado un experimento similar en tus prácticas del laboratorio de Física General de primer curso. Siguiendo la conocida Ley de Hooke, el muelle experimentara una elongación  proporcional a la fuerza aplicada:

                      .                          (1)

Para desarrollar nuestro modelo, hemos representado cada “vuelta” del muelle por una masa m que cuelga de un muelle de constante k que tiene una elongación inicial en reposo l0.  Para analizar el comportamiento del Slinky suspendido verticalmente, iremos añadiendo vueltas sucesivamente, y determinando la posición de cada vuelta. Los pasos sucesivos del proceso se ilustran en la figura.

Si suspendemos el muelle sin masa alguna, su longitud será l0.

Si le añadimos una masa m, debido a la ley de Hooke su longitud l1 será mayor. Calcula l1 utilizado la ecuación (1).

Añadimos ahora una “vuelta” más (muelle+masa). ¿Cuánto vale l2? Y si añadimos otra vuelta más, ¿Cuánto valdrá l3?

En este “sistema modelo” representamos un muelle con tres vueltas. ¿Cuál será su longitud total cuando está suspendido verticalmente?¿Cuál será la posición Ln de cada vuelta n cuando está suspendido, si el origen se cuenta desde la vuelta inferior? ¿Cuál sería su longitud total (LTOT) si el sistema tuviera N vueltas?¿Y la posición de cada vuelta n?

El dibujo anterior es un esquema idealizado de lo que realmente es un Slinky. Un Slinky no es más que un muelle compuesto por N vueltas. Cada una soporta el peso de todas las que hay por debajo de ella.

Ahora que ya has obtenido el valor de Ln, escríbela en función de la longitud total del Slinky (LTOT), eliminando la constante.

Representa tus datos en una gráfica donde aparezca la posición de cada vuelta en función del número de la vuelta, n. Realiza un ajuste de tus datos mediante una función que sea comparable con la obtenida en tu modelo, y compara el resultado experimental y el teórico. ¿Obtienes buen acuerdo? ¿Hay alguna discrepancia? ¿El acuerdo es igualmente bueno para los tres muelles que has estudiado experimentalmente, o hay algún factor que aumenta las discrepancias?

Hemos conseguido obtener la posición de cada vuelta, pero todavía nos falta calcular la densidad lineal de masa, s, definida como cambio de masa por unidad de longitud, o de forma matemática,

.

¿Cómo calcularías s? Puedes calcular el cambio de longitud DL entre dos vueltas consecutivas, n y n+1, por ejemplo. Comprueba el resultado de tus cálculos representando gráficamente DL en función de n y ajustando el resultado de forma que puedas compararlo con tus resultados teóricos. Para realizar este cálculo de forma más ágil, determina DL cada cinco vueltas, asignándole el valor de n correspondiente a la vuelta central de esas cinco.

2.2 Segunda parte. Centro de Masa.

El centro de gravedad de un sistema de masas puntuales se define como:

donde las mi son las masas de cada una de las partículas puntuales que componen el sistema, y las ri son las distancias de estas partículas al origen de coordenadas.

En nuestro caso, el sistema del cual determinamos el centro de masa está compuesto por un listón de madera y el Slinky, por lo que tendremos:

                                   (2)      

donde:

MS = Masa del Slinky

RCM,S = Centro de masa del Slinky

MB = Masa de la barra

RCM,B = Centro de masa de la barra

Esta ecuación relaciona el centro de masa del sistema que es lo que medimos en el experimento, con el centro de masa del Slinky. Por tanto, conociendo el centro de masas de la barra, sólo queda despejar el centro de masas del Slinky.

Calcular la posición del centro de masas del Slinky de forma teórica. Para ello podemos considerar cada vuelta como una masa puntual m=Ms/N, que se encuentra a una distancia Li del origen (que es la primera vuelta en la que empezamos a medir). Compararlo con el resultado experimental. ¿Hay buena concordancia? ¿Podrías sugerir alguna modificación para mejorar este experimento?

2.3 Tercera parte. Variación de la longitud de onda con la distancia.

Para contestar a esta pregunta debemos saber de qué variables depende la longitud de onda de una onda que se propaga por un medio. En medios homogéneos, en los que la densidad y la tensión son constantes, como es el caso de una cuerda tensionada (ver práctica de Ondas estacionarias en cuerdas), la longitud de onda no cambia a lo largo del medio. Sin embargo, en otras ocasiones las propiedades del medio cambian con la posición (medios no homogéneos). Un ejemplo conocido lo encontramos en óptica. Si la luz atraviesa un medio con densidad óptica variable, su longitud de onda irá cambiando a lo largo de la trayectoria, produciendo trayectorias curvas. Este es el origen de los espejismos.

Tal y como se explica en la práctica de Ondas estacionarias en cuerdas, la velocidad de propagación de una onda en una cuerda depende de la densidad lineal y de la tensión según la ecuación:

,

donde t es la tensión de la cuerda en un punto dado y s su densidad lineal. En nuestro sistema, tanto t como s varían con la posición. Pero, ¿cómo varía t con n a lo largo del muelle suspendido? Para el cálculo, ten en cuenta la masa de cada una de las vueltas del muelle, m.

Sabemos además que en una onda, la velocidad de fase cumple la relación . Despejando la longitud de onda y elevando al cuadrado, tenemos:

                      (3).

Escribir esta ecuación para la longitud de onda al cuadrado en función de n. Realiza los cálculos necesarios para obtener la siguiente relación:

                (4).

Representar gráficamente la longitud de onda al cuadrado en función de la espira del muelle, n, en la que se encuentre el vientre correspondiente. Si éste no se observa con claridad, su posición puede aproximarse por el punto medio entre dos nodos consecutivos. ¿Sigue la ley que hemos encontrado? ¿Qué tipo de curva obtienes? ¿Coinciden los parámetros de esta curva con los esperados teóricamente? Realiza los comentarios críticos pertinentes en base a tus resultados experimentales.

3. Curiosidades y aplicaciones

La densidad de la atmósfera varía con la altura de forma exponencial siguiendo la ley

Esta variación con la altura no es la misma que hemos encontrado nosotros estudiando el muelle, pero la práctica nos ha servido para comprender mejor qué magnitudes físicas pueden cambiar cuando la densidad varía.

El Comportamiento del Slinky se aplica al estudio de las cadenas de polímeros cuando se expanden y comprimen en un fluido.

dna2.jpg

Una cadena de ADN se puede considerar como 2 Slinkys entrelazados.

Resolución de la práctica

En esta práctica hemos analizado la distribución de masa en un sistema compuesto por un muelle (Slinky) que se encuentra suspendido en posición vertical. Desarrollamos un modelo para determinar la posición de las vueltas del muelle en función de la altura, que compararemos con los resultados experimentales. Hemos obtenido también experimental y teóricamente la posición del centro de masa del muelle. Para finalizar,  realizamos un estudio dinámico para analizar la formación de ondas estacionarias en el muelle y determinar la variación de la longitud de onda con la altura.

1. Preguntas y observaciones preliminares:

El aire es más denso a nivel del mar que conforme aumentamos la altura.  La variación de la densidad se debe a que las moléculas de aire que están póximas a la superficie terrestre soportan el peso de las que se encuentran por encima de ellas.  A medida que ascendemos, la columna de aire que queda por encima de una capa dada es menor, con lo que la capa soportará menos peso y se expandirá, disminuyendo su densidad. Dado que la densidad y la presión de un gas están relacionadas, al cambiar la densidad también cambiará la presión. Por lo tanto, cualquier fenómeno físico que dependa de estas dos magnitudes cambiará con la altura. Como ejemplo podemos citar factores meteorológicos como la formación de nubes, u otros como la fuerza de sustentación de los aviones y globos o las reacciones de combustión.

La compresión del muelle se describe por la ley de Hooke por lo que será proporcional y de sentido contrario al peso que soporta. Claramente, un muelle que se encuentra en la parte inferior soporta más peso que uno que se encuentra en la parte superior. Por lo tanto, estará más comprimido el muelle de la parte inferior, de forma similar a lo que ocurre en la atmósfera.

Observaciones preliminares:

El experimento que hemos realizado para estudiar la elongación del Slinky queda recogido en las cuatro fotografías adjuntas.

Fotografía1                           Fotografía2                     Fotografía3                 Fotografía4

En la fotografía 1 observamos el muelle sin extender, con la longitud inicial (L0). En la fotografía 2 sólo se deja estirar aproximadamente un cuarto del número de vueltas del muelle. En la fotografía 3 y en la 4 ocurre lo mismo sólo que con la mitad del número de vueltas y ¾ del número de vueltas respectivamente.

La extensión del Slinky no sigue un comportamiento lineal. Analizando la evolución que sigue el estiramiento conforme dejamos suspender más número de vueltas, observamos aumenta mucho más rápidamente que el número de vueltas que se dejan caer. Más concretamente podemos observar cómo dejando caer la mitad de vueltas del muelle, el alargamiento es mucho mayor del doble que cuando dejamos caer un cuarto del número de vueltas. Ocurre lo mismo comparando la elongación de ¾ del número de vueltas con el de la mitad.

2. Procedimiento experimental

En esta sección describiremos el procedimiento experimental seguido para cada medida, así como los resultados numéricos obtenidos. El análisis de los resultados se realizará en una sección posterior.

2.1. Primera parte. Densidad lineal

Número de vueltas: N=86 vueltas.

            (Nota: aunque el muelle tiene 99 vueltas, 13 de ellas se encuentran en el interior del soporte, y por tanto no las tendremos en cuenta en el análisis).

Longitud slinky sin estirar  L0= 41 ± 1mm

Longitud slinky estirado  L =  664 ± 1mm

Número de vueltas: 35 vueltas

            (Nota: al igual que en el muelle anterior, hay 7 vueltas que se introducen en el soporte y no se tienen en cuenta).

Longitud medio slinky sin estirar  L0=  14 ± 1mm

Longitud medio slinky estirado  LN =  113 ± 1mm

 

·         Datos del Slinky de PLÁSTICO

Número de vueltas: 56 vueltas

Longitud slinky de plástico sin estirar  L0=  63 ± 1mm

Longitud slinky de plástico estirado  LN =  427 ± 1mm

Datos de la posición de cada vuelta para el muelle metálico completamente extendido:

Nº de vuelta

Posición mm (±1mm)

  

Nº de vuelta

Posición mm (±1mm)

1

0

44

189

2

2

45

197

3

3

46

205

4

5

47

213

5

7

48

223

6

8

49

232

7

10

50

241

8

12

51

249

9

13

52

258

10

15

53

268

11

18

54

277

12

20

55

287

13

22

56

297

14

25

57

307

15

28

58

317

16

31

59

326

17

35

60

336

18

39

61

347

19

43

62

358

20

47

63

368

21

50

64

379

22

54

65

390

23

58

66

401

24

63

67

413

25

68

68

425

26

74

69

437

27

79

70

449

28

84

71

461

29

89

72

473

30

95

73

486

31

100

74

498

32

106

75

510

33

112

76

523

34

118

77

538

35

125

78

551

36

131

79

564

37

138

80

577

38

145

81

590

39

152

82

604

40

160

83

619

41

167

84

633

42

174

85

647

43

182

86

664

Hemos tomado la posición de las primeras doce vueltas en cuatro tandas de tres en tres. Es decir, medimos la distancia de tres vueltas y luego la hemos dividido entre tres. Hemos procedido de esta forma porque las distancias que se miden en estas primeras vueltas son demasiado pequeñas para la resolución (± 1 mm) de la regla que utilizamos en el experimento.

Datos de la posición de cada vuelta para un muelle metálico con menor número de vueltas:

Nº de vuelta

Posición mm (±1mm)

  

Nº de vuelta

Posición mm (±1mm)

1

0

19

37

2

1

20

40

3

2

21

44

4

3

22

48

5

4

23

52

6

5

24

56

7

7

25

61

8

8

26

65

9

10

27

70

10

11

28

74

11

13

29

79

12

15

30

85

13

18

31

90

14

21

32

95

15

23

33

101

16

26

34

107

17

30

35

113

18

33

    

Hemos procedido idénticamente que en el caso anterior en las primeras ocho vueltas.

Datos de la posición de cada vuelta para el muelle de plástico:

Nº de vuelta

Posición mm (±1mm)

  

Nº de vuelta

Posición mm (±1mm)

1

0

29

132

2

2

30

140

3

4

31

148

4

6

32

157

5

8

33

166

6

10

34

176

7

12

35

185

8

15

36

194

9

16

37

204

10

18

38

214

11

22

39

224

12

26

40

234

13

30

41

246

14

34

42

256

15

38

43

268

16

43

44

278

17

49

45

289

18

54

46

302

19

60

47

313

20

67

48

324

21

73

49

336

22

79

50

349

23

86

51

362

24

92

52

375

25

100

53

388

26

108

54

401

27

117

55

415

28

125

56

427

2.2.- Segunda parte. Centro de masa

Masa Slinky total  M = 92 ± 1 g

Número de vueltas: N = 99 vueltas.

Masa barra Mb = 184 ± 1 g

Longitud barra Lb = 673 ± 1mm

Longitud slinky estirado  L =  673 ± 1mm

            Hemos sujetado el muelle extendido sobre un listón de madera utilizando celo de doble cara. A continuación lo hemos colocado en posición horizontal, sujetándolo sobre un pivote. Para encontrar el centro de masa hemos ido desplazando el punto de apoyo del listón hasta encontrar la posición en la que el sistema se mantenía en equilibrio. El montaje con el sistema en equilibrio puede observarse en la foto adjunta:

Hemos realizado la medida del centro de gravedad respecto del extremo inferior del Slinky, y el resultado ha sido el siguiente:

RCM,SIS  = 299 ± 5 mm

Este valor corresponde al centro de masas del sistema compuesto por la barra y el Slinky pegado a ella. Para calcular el centro de masa propio del Slinky deberemos encontrar una formula que nos relacione el centro de masa del sistema con el del Slinky:

En este experimento hemos estimado el error teniendo en cuenta la forma de buscar el punto de equilibrio, es decir, puesto que para encontrar este punto movíamos el listón de forma manual, hemos considerado que este error viene representado por 5 mm.

El centro de masas del sistema será:

De esta ecuación podemos despejar para el centro de masas del Slinky:

Donde:

MS = Masa Slinky = 92 ± 1 g

MB = Masa Barra = 184 ± 1 g

R CM,SIS = Centro de masas del Sistema = 299 ± 5 mm 

R CM,B = Centro de masas de la barra = 337 ± 1 mm

R CM,S = Centro de masas del Slinky 

Por lo tanto, ahora con el valor del centro de masas del sistema, podremos determinar el centro de masa experimental del Slinky:

R CM,S = 224 ±  15 mm

Posteriormente en el análisis de datos compararemos este resultado con el obtenido teóricamente.

2.3.-Tercera parte. Ondas longitudinales estacionarias en el muelle. Variación de la longitud de onda con la distancia.

·            ¿Cómo depende la velocidad de propagación del sonido en el aire de su densidad?

Puesto que sabemos que la velocidad de una onda en un hilo depende de la raíz cuadrada de la tensión dividido la densidad lineal de masa, podemos hacer extensivo este planteamiento para un gas teniendo en cuenta la relación entre la respuesta del fluido a un cambio de presión y la tensión.

En este caso la tensión será equivalente al módulo de compresión adiabática (suponiendo gas ideal). El módulo de compresión adiabática es igual al coeficiente adiabático por la presión. Por tanto la velociad de propagación nos queda:

            Como se observa por la expresión obtenida, la velocidad de propagación es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad del aire, suponiendo este como un gas ideal en condiciones adiabáticas.

            Sin embargo hemos de considerar que la presión cambia de forma idéntica (cuando aproximamos el sistema a un gas ideal) a como lo hace la densidad. Por tanto, en un modelo atmosférico en condiciones adiabáticas la velocidad de propagación de ondas permanecería constante con la altura.

·         Teniendo en cuenta la relación entre frecuencia (f), longitud de onda (l) y velocidad (v), (), si la frecuencia de una onda se mantiene constante a medida que atraviesa la atmósfera, ¿cómo cambiará su longitud de onda?

La longitud de onda es proporcional a la velocidad e inversamente proporcional a la frecuencia. Como hemos visto en el apartado anterior, la velocidad de propagación de la onda depende simultáneamente de la presión y de la densidad, de forma que sus variaciones se compensan. Por lo tanto, la longitud de onda permanecerá constante.

·         En una onda estacionaria, ¿Qué relación tiene la longitud de la onda con la distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos?

La distancia entre dos nodos consecutivos equivale a media longitud de onda. En un medio continuo y de densidad constante la separación entre nodos será constante. En nuestro caso, sin embargo, la densidad no es uniforme a lo largo del muelle, por lo que, de forma similar a lo que ocurre en la atmósfera, tanto la velocidad de propagación como la longitud de onda cambiarán con la altura. En una onda estacionaria en el muelle, al disminuir la densidad aumentará la velocidad de propagación y con ella la separación entre nodos y la longitud de onda.

Una vez realizadas estas consideraciones, pasamos a tomar medidas de la posición de cada nodo. Este experimento lo hemos realizado acoplando un vibrador mecánico en la parte inferior del muelle suspendido. En un determinado modo de vibración para el cual tenemos varios nodos observables, hacemos las medidas de las posiciones de los nodos.

Elegimos una frecuencia f = (11 ± 0.5) Hz, para la cual tenemos 8 nodos, contando con los dos puntos de sujeción. Y esto significa que debemos tener 7 vientres que corresponderán a 7 semi-longitudes de onda distribuidas a lo largo de la longitud del muelle.

Datos de la posición de cada nodo:

Nº nodo

Posición nodo

mm (± 1 mm)

Nº de vuelta del nodo

1

0

1

2

41

19

3

92

30

4

162

40

5

257

52

6

368

63

7

494

74

8

651

90

Podemos observar cómo la posición del extremo superior no es de 673 mm. Esto es debido a que al sujetar el muelle en el soporte que va unido al vibrador se pierden unas cuantas vueltas y esto repercute en que la longitud del muelle estirado sea un poco menor que en los otros dos experimentos.

Datos de las longitudes de onda y la posición de los vientres:

Nº vientre

Poscición vientre mm

(± 1 mm)

Nº de vuelta del vientre

λ (mm)

λ 2 (mm2)

1

21

12

82

6724

2

67

24

102

10404

3

127

35

140

19600

4

210

46

190

36100

5

313

58

222

49284

6

431

68

252

63504

7

573

80

314

98596

Las posiciones de los vientres han sido calculadas como el punto medio de la distancia entre cada uno de los nodos con su consecutivo. La longitud de onda se determina teniendo en cuenta la relación entre λ la distancia entre los nodos (λ=2*distancia entre nodos).

El número de vuelta del vientre se interpola utilizando la tabla de la primera parte de la práctica. Los datos proporcionan una buena idea de la evolución de la longitud de onda  con el alargamiento del muelle.

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